Google célèbre, ce vendredi, le 96e anniversaire du mathématicien polonais-franco-américain Benoît Mandelbrot. Il inventa les figures fractales.
Le mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot, décédé le 14 octobre 2010 à Cambridge (Massachusetts), est connu pour ses contributions essentielles dans le domaine de la géométrie fractale. Mandelbrot naît à Varsovie (Pologne) le 20 novembre 1924, dans une famille juive d’origine lituanienne : son père tient une boutique de vêtements d’occasion et sa mère est médecin. La famille émigre en France en 1936 et l’éducation de Benoît est confiée à son oncle Szolem Mandelbrojt, professeur de mathématiques au Collège de France. Lycéen à Paris pendant quelques mois, il fuit la zone occupée et continue ses études à Tulle, puis à Lyon avant d’être admis, en 1944, à l’École polytechnique où il profite des cours de Paul Lévy (1886-1971), un spécialiste des probabilités qui aura une forte influence sur ses recherches. Mandelbrot passe quelque temps au California Institute of Technology de Pasadena (Californie) puis entre au CNRS en 1949 ; il soutient sa thèse à l’Institut de statistiques de l’université de Paris en 1952 et alterne jusqu’en 1957 des séjours aux États-Unis, en particulier à l’Institute for advanced studies de Princeton, et en France. En 1958, il rejoint le centre de recherche Thomas-Watson de la compagnie IBM à Yorktown Heights (États-Unis), qu’il ne quittera que trente-cinq ans plus tard pour devenir professeur à l’université Yale (New Haven, Connecticut).
Les premiers travaux de Mandelbrot traitent de la théorie de l’information et de la structure statistique du langage. Sa thèse, Contribution à la théorie mathématique des jeux de communication, est suivie d’études sur la structure formelle des textes et sur les jeux de stratégie dans la communication au moyen de langues naturelles. Il aborde aussi le problème du codage en présence de bruits récurrents et la nécessaire correction des erreurs de transmission. Il étudie enfin la distribution des fréquences des mots dans un discours au moyen de ce qu’il appelle une « linguistique statistique macroscopique ». Parallèlement à ces travaux, il aborde avec des outils issus de la physique statistique l’analyse mathématique de processus économiques. Sa méthode originale d’économie statistique lui permet d’analyser la répartition des revenus et l’évolution des prix spéculatifs à l’aide de la théorie des processus stochastiques. En 1962, il est professeur invité en économie à l’université Harvard.
Dès 1967, dans un article intitulé « Quelle est la longueur de la côte bretonne ? Autosimilarité statistique et dimensions fractionnaires », Mandelbrot aborde les mathématiques des objets très irréguliers. Les problèmes d’intermittence en dynamique des fluides turbulents et les expériences numériques effectuées à l’aide d’ordinateurs l’amènent à élaborer de nouveaux concepts. En 1975, il rassemble dans l’essai Les Objets fractals : forme, hasard et dimension les résultats de ses travaux dans ce domaine. Réédité plusieurs fois et traduit en plusieurs langues, ce court traité est à mi-chemin du travail d’érudition et de celui de vulgarisation. Comme il l’indique dans son Introduction, il y étudie « des objets naturels très divers, tels que la Terre, le Ciel et l’Océan, à l’aide d’une large famille d’objets géométriques ». Pour les décrire, il met au point une nouvelle géométrie de la nature, qui intègre les acquis de Felix Hausdorff sur les dimensions fractionnaires et les résultats de son maître Paul Lévy sur le mouvement brownien. Mandelbrot multiplie les exemples concrets pour montrer l’impressionnante étendue du domaine d’application de cette nouvelle méthode d’analyse d’ensembles qui présentent des irrégularités à toutes les échelles. Ces structures mathématiques, souvent construites par itération, possèdent des symétries de dilatation caractéristiques : l’agrandissement d’une partie est semblable au tout. Le concept de fractalité quantifie le degré d’irrégularité et unifie la description de multiples objets physiques ; son incidence sur la théorie du chaos déterministe démontrera la fécondité d’une telle approche. Dans les années 1980 et 1990, Mandelbrot généralise le concept de fractales en introduisant les multifractales, les multifractales aléatoires et leurs mesures. Dans les années 2000, il se focalise sur les applications économiques et critique ouvertement les approches habituelles des mathématiques financières, qu’il juge profondément erronées.
